Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，且an=

1

2

(3n+Sn)對一切正整數(shù)n恒成立．
（1）證明數(shù)列{a_n+3}為等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{a_n}是否存在三項構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把所給的等式整理，想要求的結(jié)論靠近，因此需要把s_n變?yōu)閍_n，仿寫一個等式，兩式相減，得到只含a_n的等式，因為要證數(shù)列{a_n+3}為等比數(shù)列，所以湊成這個數(shù)列的相鄰兩項的比值形式．
（2）假設(shè)存在，寫出三項，又知三項成等差數(shù)列，用等差中項驗證，推出矛盾，得到結(jié)論不存在三項構(gòu)成等差數(shù)列．

解答：解：（1）∵且an=

1

2

(3n+Sn)對一切正整數(shù)n恒成立，
即2a_n=3n+S_n…①對一切正整數(shù)n恒成立．
∴2a_n+1=3（n+1）+s_n+1…②
②-①得：2a_n+1-2a_n=3+s_n+1-s_n，
∴3a_n+1-2a_n=3
∴a_n+1+3=2（a_n+3）
又a₁+3=6＞0，所以a₂+3=2（a₁+3）＞0，由此類推an+3＞0
所以

an+1+3

an+3

=2
所以數(shù)列{a_n+3}是以a₁+3=6為首項，以2為公比的等比數(shù)列．
（2）解：假設(shè)數(shù)列{a_n}中存在這樣的三項滿足其條件，且這三項分別為數(shù)列{a_n}的第x，y，z項．
由（1）知數(shù)列{a_n+3}是以a₁+3=6為首項，以2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n+3=6×2^n-1，
∴a_n=3×2ⁿ-3
又第x，y，z項構(gòu)成等差數(shù)列，
∴2（3×2^y-3）=3×2^x-3+3×2^z-3
∴2^y+1=2^x+2^z
∴2^y+1-x=1+2^z-x
又x、y、z都是整數(shù)，
等式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，
∴這樣的x、y、z是不存在的．
即數(shù)列{an}中不存在有三項，使它們可以構(gòu)成等差數(shù)列．

點(diǎn)評：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位．高考對它的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏．