Question

【題目】如圖1，在邊長(zhǎng)為3的菱形中，已知，且.將梯形沿直線折起，使平面，如圖2，分別是上的點(diǎn).

（1）若平面平面，求的長(zhǎng)；

（2）是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先平面與平面有公共點(diǎn)，得平面與平面相交，設(shè)交線為，根據(jù)平面平面得到，設(shè)，再得到，同理的得到，

根據(jù)即可求出結(jié)果；

(2) 以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，用表示出平面的法向量，根據(jù)直線與平面所成的角是，即可求出結(jié)果.

解：（1）證明：因?yàn)槠矫?/span>與平面有公共點(diǎn)，

所以平面與平面相交，設(shè)交線為，若平面平面，

因?yàn)槠矫?/span>平面，則.

設(shè)，又因?yàn)?/span>，所以，

同理，由平面平面，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以.

所以.因?yàn)?/span>，，，所以，

所以

（2）在圖2中，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示.

易得，則，又，，，

所以，，，

設(shè)，則

則

設(shè)平面的法向量為，由它與，均垂直可得

，

令，可得，，

所以.

若存在點(diǎn)，使與平面所成的角是，

則，解得，因?yàn)?/span>，

所以，即