Question

已知當|x|很小的時候，標準正態(tài)分布密度函數(shù)f（x）=

1

2π

e-

x2

2

可用函數(shù)g（x）=

1

2π

(1-

x2

2

)近似，若隨機變量ξ服從標準正態(tài)分布，則下列說法中正確的是

 

．
①當x₁＞0時，有p（-x₁≤ξ≤x₁）=2p（0≤ξ≤x₁）；＜BR②當
②當x₁＞x₂＞0 時，有p（ξ≥x₂）＞1-p（ξ≤x₁）；
③當|x₁|，|x₂|很小且x₁＜x₂ 時，有p(x1≤ξ≤x2)≈

1

2π

[(x2-

x 3 2

6

)-x1-

x 3 1

6

)]；
④當|x₁|，|x₂|很小且x₁＜x₂ 時，有p(x1≤ξ＜x2)≈

1

2π

(x1-x2)．

Answer 1

分析：根據(jù)ξ服從正態(tài)分布，先將標準正態(tài)分布密度函數(shù)轉(zhuǎn)化成函數(shù)g（x）=

1

2π

(1-

x2

2

)近似，最后利用g（x）的圖象與性質(zhì)計算來表示出概率即可．

解答：解：先作出g（x）的圖象，如圖．
對于①由于分布密度函數(shù)關(guān)于y軸對稱，故當x₁＞0時，有p（-x₁≤ξ≤x₁）=2p（0≤ξ≤x₁）；
得①正確；
對于②由于分布密度函數(shù)與x軸所圍成的面積為1，故有：當x₁＞x₂＞0 時，有p（ξ≥x₂）＞1-p（ξ≤x₁）；得②正確；
對于③當|x₁|，|x₂|很小且x₁＜x₂ 時，
可得p(x1≤ξ≤x2)≈

1

2π

[(x2-

x 3 2

6

)-x1+

x 3 1

6

)]，故原式不能成立，③不正確；
對于④，當|x₁|，|x₂|很小且x₁＜x₂ 時，式子p(x1≤ξ＜x2)≈

1

2π

(x1-x2)不成立，故④不正確．
故答案為：①②

點評：本小題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．