(2011•重慶三模)設(shè)函數(shù)f(x)=
23
x3+x2
+ax+b(x>-1).
(I)若函數(shù)f(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)若函數(shù)f(x)在其定義域上既有極大值又有極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(I)由f(x)的解析式求出導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)為開口向上的拋物線,因?yàn)楹瘮?shù)在(-1,+∞)上為單調(diào)函數(shù),所以導(dǎo)函數(shù)與x軸沒有交點(diǎn),列出關(guān)于a的不等式,求出不等式的解集即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(II)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值,可以得到△>0且f′(-1)>0,進(jìn)而可解出a的范圍.
解答:解:(I)由f(x)=
2
3
x3+x2
+ax+b(x>-1).
得到f′(x)=2x2+2x+a,
因?yàn)楹瘮?shù)在(-1,+∞)上是單調(diào)函數(shù),
所以f′(x)=2x2+2x+a≤0在(-1,+∞)恒成立,由于拋物線開口向上,2x2+2x+a≤0不可能成立;
所以f′(x)=2x2+2x+a≥0在(-1,+∞)恒成立,
則a≥-2x2-2x⇒a≥
1
2

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是:[
1
2
,+∞).
(II)∵函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值
由題意f′(x)=2x2+2x+a=0在(-1,+∞)上有兩解,
△=4-8a
2(-1) 2+2(-1)+a>0
⇒0<a<
1
2

故實(shí)數(shù)a的取值范圍0<a<
1
2
點(diǎn)評(píng):此題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,掌握函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件,是一道綜合題.
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2ax
)6
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1
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