【題目】對(duì)于函數(shù)y=f(x),x∈D,若存在閉區(qū)間[a,b]和常數(shù)C,使得對(duì)任意x∈[a,b]都有f(x)=C,稱f(x)為“橋函數(shù)”.
(1)作出函數(shù)的圖象,并說(shuō)明f(x)是否為“橋函數(shù)”?(不必證明)
(2)設(shè)f(x)定義域?yàn)?/span>R,判斷“f(x)為奇函數(shù)”是“為’橋函數(shù)’”的什么條件?給出你的結(jié)論并說(shuō)明理由;
(3)若函數(shù)是“橋函數(shù)”,求常數(shù)m、n的值.
【答案】(1)圖象見(jiàn)解析,f(x)為“橋函數(shù)”;(2)充分不必要(3)或
【解析】
(1)根據(jù)絕對(duì)值定義化簡(jiǎn)函數(shù),再作圖,最后根據(jù)“橋函數(shù)”定義進(jìn)行判斷;
(2)根據(jù)“橋函數(shù)”定義說(shuō)明充分性成立,舉反例說(shuō)明必要性不成立;
(3)根據(jù)“橋函數(shù)”定義列等式,再根據(jù)恒成立解m、n的值.
(1)
圖象為
存在閉區(qū)間[3,4]和常數(shù)2,使得對(duì)任意x∈[3,4]都有f(x)=2,所以f(x)為“橋函數(shù)”
(2)f(x)為R上奇函數(shù),則,即存在閉區(qū)間[3,4]和常數(shù)0,使得對(duì)任意x∈[3,4]都有f(x)=0,所以為“橋函數(shù)”,
為“橋函數(shù)”時(shí)f(x)不一定為奇函數(shù),如
因此“f(x)為奇函數(shù)”是“為’橋函數(shù)’”的充分不必要條件
(3)因?yàn)?/span>是“橋函數(shù)”,
所以存在閉區(qū)間[a,b]和常數(shù)C,使得對(duì)任意x∈[a,b]都有g(x)=C,
即,即
所以
即或,或
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù).
(1)若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處有公共切線,求的值;
(2)若存在實(shí)數(shù)使不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,求證:由點(diǎn) 構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對(duì)稱.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有以下命題:
①若函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),則f(x)的值域?yàn)?/span>{0};
②若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則f(|x|)=f(x);
③若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則f(x)不存在反函數(shù);
④若函數(shù)f(x)存在反函數(shù)f﹣1(x),且f﹣1(x)與f(x)不完全相同,則f(x)與f﹣1(x)圖象的公共點(diǎn)必在直線y=x上;
其中真命題的序號(hào)是 .(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為其右頂點(diǎn)為,下頂點(diǎn)為,定點(diǎn),的面積為過(guò)點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于兩點(diǎn),直線分別與軸交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)試探究的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線.
(1)用函數(shù)的形式表示曲線;
(2)若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,為曲線上的點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽,在處按方向釋放機(jī)器人甲,同時(shí)在處按某方向釋放機(jī)器人乙,設(shè)機(jī)器人乙在處成功攔截機(jī)器人甲.若點(diǎn)在矩形區(qū)域內(nèi)(包含邊界),則挑戰(zhàn)成功,否則挑戰(zhàn)失。阎米,為中點(diǎn),機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍,比賽中兩機(jī)器人均按勻速直線運(yùn)動(dòng)方式行進(jìn),記與的夾角為.
(1)若,足夠長(zhǎng),則如何設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度才能挑戰(zhàn)成功?(結(jié)果精確到);
(2)如何設(shè)計(jì)矩形區(qū)域的寬的長(zhǎng)度,才能確保無(wú)論的值為多少,總可以通過(guò)設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙在矩形區(qū)域內(nèi)成功攔截機(jī)器人甲?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某教師為了分析所任教班級(jí)某次考試的成績(jī),將全班同學(xué)的成績(jī)作成統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[50,60) | 3 | 0.06 |
[60,70) | m | 0.10 |
[70,80) | 13 | n |
[80,90) | p | q |
[90,100] | 9 | 0.18 |
總計(jì) | t | 1 |
(1)求表中t,q及圖中a的值;
(2)該教師從這次考試成績(jī)低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行談話,設(shè)X表示所抽取學(xué)生中成績(jī)低于60分的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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