Question

邊長為2的正方形ABCD中，E∈AB，F∈BC
（1）如果E、F分別為AB、BC中點，分別將△AED、△DCF、△BEF沿ED、DF、FE折起，使A、B、C重合于點P．證明：在折疊過程中，A點始終在某個圓上，并指出圓心和半徑．
（2）如果F為BC的中點，E是線段AB上的動點，沿DE、DF將△AED、△DCF折起，使A、C重合于點P，求三棱錐P-DEF體積的最大值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據三角形在折疊過程的點的變化，即可得到結論．
（2）根據線面垂直的性質，結合三棱錐的體積公式即可得到結論．

解答： 解：（1）∵E、F分別為AB、BC中點，在平面圖形中連結AF，BD交O點，AF交DE于M，則O為三角形DEF的垂心，
三角形AED在沿DE的折疊過程中，AM始終垂直于DE，
∴過A在過M且與DE垂直的平面上，
又AM=

2

5

，
∴A在以M為圓心，AM為半徑的圓上．
（2）由于PD⊥PF，PD⊥PE，
故PD⊥平面PEF，
∴當三角形PEF面積最大時，三棱錐P-DEF體積最大，
設PE=t，∠EPF=α，則（2-t）²+1=1+t²-2tcosα，
即cosα=

2t-2

t

，
則S△PEF=

1

2

t•

1-( 2t-2 t )2

=

1

2

•

-3t2+8t-4

，
故當t=

4

3

時，體積最大為

2 3

9

．

點評：本題主要考查考查空間幾何體的折疊問題，以及三棱錐的體積計算，綜合性較強，難度較大．