Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x-3，x≤1\\ lnx，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x＞1.\end{array}$，若|f（x）|+a≥ax，則a的取值范圍是[-2，0]．

Answer 1

分析 ①當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）|+a≥ax，化簡(jiǎn)為x²-4x+3+a≥ax，分離參數(shù)a，利用恒成立思想可求得a≥-2；②當(dāng)x＞1時(shí)，|f（x）|+a≥ax化簡(jiǎn)為lnx≥a（x-1），作圖，由函數(shù)圖象可知a≤0，從而可得答案．

解答 解：①當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=-x²+4x-3=-（x-2）²+1≤0，
所以|f（x）|+a≥ax，化簡(jiǎn)為x²-4x+3+a≥ax，
即a（x-1）≤x²-4x+3=（x-1）²-2（x-1），
因?yàn)閤≤1，所以a≥x-1-2恒成立，所以a≥-2；
②當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx＞0，所以|f（x）|+a≥ax化簡(jiǎn)為lnx≥a（x-1）恒成立，如圖：

由函數(shù)圖象可知a≤0，
綜上，當(dāng)-2≤a≤0時(shí)，不等式|f（x）|+a≥ax恒成立
故答案為：[-2，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，突出考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用，當(dāng)x≤1時(shí)，分離參數(shù)，當(dāng)x＞1時(shí)作圖都是關(guān)鍵，考查恒成立問(wèn)題，屬于難題．