Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$之間有關系|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|，其中k＞0．
（1）用k表示$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$；
（2）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小值，并求此時$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的夾角的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量長度和向量數(shù)量積的關系進行展開整理即可．
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的公式進行求解即可．

解答 解：（1）要求用k表示$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，而已知|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|，故采用兩邊平方，得：
|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=（$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|）²
k²$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=3（$\overrightarrow{a}$²+k²$\overrightarrow$²-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$），
∴8k•$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（3-k²）$\overrightarrow{a}$²+（3k²-1）$\overrightarrow$²
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{{（3-{k^2}）{{a}^2}+（3{k^2}-1）{^2}}}{8k}$
∵$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），∴$\overrightarrow{a}$²=1，$\overrightarrow$²=1，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{{3-{k^2}+3{k^2}-1}}{8k}$=$\frac{{{k^2}+1}}{4k}$．
（2）∵（k-1）²≥0即  k²+1≥2k，即$\frac{{{k^2}+1}}{4k}$≥$\frac{2k}{4k}$=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小值為$\frac{1}{2}$，
又∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cosγ，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，
∴$\frac{1}{2}$=1×1×cosγ．
∴γ=60°，此時$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應用，根據(jù)向量數(shù)量積的定義以及向量數(shù)量積與長度之間的關系是解決本題的關鍵．