已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數(shù)f(x)的全體:
①函數(shù)f(x)在其定義域上是單調函數(shù);
②在函數(shù)f(x)的定義域內存在閉區(qū)間[a,b]使得f(x)在[a,b]上的最小值是
a
2
,且最大值是
b
2
.請解答以下問題
(1)判斷函數(shù)f(x)=x+
2
x
(x∈(0,+∞))
是否屬于集合M?并說明理由;
(2)判斷函數(shù)g(x)=-x3是否屬于集合M?并說明理由.若是,請找出滿足②的閉區(qū)間[a,b];
(3)若函數(shù)h(x)=
x-1
+t∈M
,求實數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)看是否同時符合①②即可,符合的話,成立,反之不成立.
(2)看是否同時符合①②即可,對于閉區(qū)間[a,b],只需要利用f(x)在[a,b]上的最小值是
a
2
,且最大值是
b
2
就可求.
(3)已經符合①②,故存在閉區(qū)間[a,b]使得f(x)在[a,b]上的最小值是
a
2
,且最大值是
b
2
,再利用單調性求出t的取值范圍.
解答:解:(1)∵f(x)=x+
2
x
,x∈(0,+∞)
,
(0,
2
)
上遞減,在(
2
,+∞)
上遞增,
f(x)=x+
2
x
,x∈(0,+∞)
不屬于M.(4分)
(2)∵g(x)=-x3在R上遞減,
∴若g(x)=-x3屬于M,則
-a3=
b
2
-b3=
a
2
a=-
2
2
b=
2
2
(9分)
(3)∵h(x)=
x-1
+t∈M
且為增函數(shù)
a-1
+t=
a
2
b-1
+t=
b
2

∴方程
x-1
+t=
x
2
,在[1,+∞)內有兩解
x-1
=
x
2
-t
,在[1,+∞)內有兩解,所以t
1
2

x-1
+t=
x
2
化為:x2-4(t+1)x+4t2+4=0
△=[4(t+1)]2-4×4(t2+1)>0
-
-4(t+1)
2
>1
12-4(t+1)×1+4t2+4≥0

解得t>0,綜上實數(shù)t的取值范圍是(0,
1
2
].
點評:本題是一道帶新定義的探究性的題目,在做這一類型題時,關鍵點是弄清題目中的新定義,并會用它來解題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數(shù)f(x)的全體:
①f(x)在其定義域上是單調增函數(shù)或單調減函數(shù);
②在f(x)的定義域內存在區(qū)間[a,b],使得f(x)在[a,b]上的值域是[
1
2
a,
1
2
b]

(Ⅰ)判斷函數(shù)y=-x3是否屬于集合M?并說明理由.若是,請找出區(qū)間[a,b];
(Ⅱ)若函數(shù)y=
x-1
+t
∈M,求實數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數(shù)f(x)組成的集合:①f(x)在其定義域上是單調增函數(shù)或單調減函數(shù);②在f(x)的定義域內存在區(qū)間,使得f(x)在[a,b]上的值域是[
1
2
a,
1
2
b]

(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)=
x
是否屬于集合M?若是,則求出a,b,若不是,說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)=
x-1
+t∈M
,求實數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數(shù)f(x)的全體
①函數(shù)f(x)在其定義域上是單調函數(shù).
②f(x)的定義域內存在區(qū)間[a,b],使得f(x)在[a,b]上的值域為[
a
2
,
b
2
].
(1)判斷函數(shù)f(x)=x+
2
x
(x>0)
是否屬于M,說明理由.
(2)判斷g(x)=-x3是否屬于M,說明理由,若是,求出滿足②的區(qū)間[a,b].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數(shù)f(x)的全體:①f(x)在其定義域上是單調函數(shù);②在f(x)的定義域內存在閉區(qū)間[a,b],使得f(x)在[a,b]上的最小值是
a
2
,最大值是
b
2
.請解答以下問題:
(1)判斷函數(shù)g(x)=-x3是否屬于集合M?并說明理由,若是,請找出滿足②的閉區(qū)間[a,b];
(2)若函數(shù)h(x)=
x-1
+t∈M
,求實數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案