Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-2sin2x，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[0，

π

4

]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）先化簡函數(shù)可得f（x）=2sin(2x+

π

6

)-1，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調增區(qū)間；
（Ⅱ）由定義域根據(jù)正弦函數(shù)的單調性即可求出函數(shù)f（x）在[0，

π

4

]上的最大值與最小值．

解答： 解：f(x)=

3

sin2x+cos2x-1=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)-1=2sin(2x+

π

6

)-1．
（Ⅰ）f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
所以函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（Ⅱ）因為0≤x≤

π

4

，所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，所以

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
于是 1≤2sin(2x+

π

6

)≤2，所以0≤f（x）≤1．
當且僅當x=0時，f（x）取最小值f（x）_min=f（0）=0．
當且僅當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時最大值f(x)max=f(

π

6

)=1．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應用，三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基礎題．