Question

20．設(shè) A為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)，直線x=a與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn) M，點(diǎn) M關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為 N，若雙曲線的離心率為$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$，則∠M A N=120°．

Answer 1

分析 聯(lián)立方程求出交點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線的離心率建立方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：不妨設(shè)直線x=a與漸近線$y=\frac{a}x$交于點(diǎn) M，
將x=a代入漸近線$y=\frac{a}x$得 M（a，b），則 N（-a，-b）．
由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{21}}}{3}$得3c²=7a²，
由c²=a²+b²得3b²=4a²，
又∵A（-a，0），
∴$tan∠{M}{A}x=\frac{2a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴∠M A N=120°．
故答案為：120°．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線離心率的應(yīng)用，根據(jù)條件求出M，N的坐標(biāo)，是解決本題的關(guān)鍵．