Question

17．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)），以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，點A的極坐標為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
（1）寫出曲線C的極坐標方程，并求出曲線C在點（$\sqrt{2}$，1）處的切線l的極坐標方程；
（2）若過點A的直線m與曲線C相切，求直線m的斜率k的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1，即可得出直角坐標方程，進而得出極坐標方程．點（$\sqrt{2}$，1）在曲線C上，故切線的斜率=-$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$=-$\sqrt{2}$，即可得出切線方程，進而化為極坐標方程．
（2）點A的極坐標化為直角坐標A$（2\sqrt{2}cos\frac{π}{4}，2\sqrt{2}sin\frac{π}{4}）$，即A（2，2）．設(shè)過直線m的斜率為k，y=k（x-2）+2，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)），∵cos²α+sin²α=1，∴x²+y²=3．可得極坐標方程為：ρ²=3，即$ρ=\sqrt{3}$．
∵點（$\sqrt{2}$，1）在曲線C上，故切線的斜率k=-$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$=-$\sqrt{2}$，故切線的方程為：y-1=$-\sqrt{2}$（x-$\sqrt{2}$），可得：$\sqrt{2}$x+y=3．即$\sqrt{2}ρ$cosθ+ρsinθ=3．
（2）點A的極坐標為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化為直角坐標A$（2\sqrt{2}cos\frac{π}{4}，2\sqrt{2}sin\frac{π}{4}）$，即A（2，2）．設(shè)過直線m的斜率為k，y=k（x-2）+2，
∵直線與圓相切，∴$\frac{|2k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，∴k²-8k+1=0，解得k=4$±\sqrt{15}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、圓的參數(shù)方程、直線與圓相切的性質(zhì)、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．