Question

（2013•廣西一模）已知函數(shù)f（x）=x²-2x+log_a

a

x-1

在（1，

3

2

）內恒小于零，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A．

  1

  16

  ≤a＜1
• B．0＜a≤

  1

  16

• C．0＜a＜

  1

  4

• D．a(chǎn)≥

  1

  16

Answer 1

分析：求出函數(shù)f（x）的定義域，f（x）在（1，

3

2

）內恒小于零等價于f（x）_max＜0，求出導數(shù)f′（x），分0＜a＜1，a＞1兩種情況利用導數(shù)求出f（x）的最大值即可．

解答：解：f（x）=x²-2x+loga

a

x-1

，
因為a＞0，且

a

x-1

＞0，所以定義域：{x|x＞1}．
 f'（x）=2x-2-

1

(x-1)lna

，
①當0＜a＜1時，

1

(x-1)lna

＜0，所以在x∈（1，

3

2

）時f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1，

3

2

）上是增函數(shù)，
要滿足題意，須f（

3

2

）≤0，即：

9

4

-3+loga（2a）≤0，即：loga2≤-

1

4

，
解得：a≥

1

16

，又0＜a＜1，所以

1

16

≤a＜1．
②當a＞1時，由f'（x）=0得：x=1+

1

2lna

，
當x＜1+

1

2lna

時，f'（x）＜0，當x＞1+

1

2lna

時，f'（x）＞0，
由此得函數(shù)f（x）在x＜1+

1

2lna

時是減函數(shù)，在x＞1++

1

2lna

時是增函數(shù)，
而f（

3

2

）=

9

4

-3+loga（2a）=loga2+

1

4

＞0，
所以a＞1時，不能保證在（1，

3

2

）內f（x）恒小于0，
故a＞1不合題意，舍去．
綜上，所求實數(shù)a的取值范圍為

1

16

≤a＜1．
故選A．

點評：本題考查應用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查不等式恒成立，考查分類討論思想，解決本題的關鍵是利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值．