定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當x∈[0,2]時,f(x)=(
12
)|x-m|

(1)求m的值;
(2)設(shè)g(x)=log2x,證明:方程f(x)=g(x)只有一個實數(shù)解.
分析:(1)由x∈[0,2]時,f(x+2)=f(x)有f(2)=f(0),建立關(guān)于m的等式關(guān)系,解之即可求出m的值;
(2)由(1)得f(x)的解析式,然后根據(jù)函數(shù)f(x)的周期性求出函數(shù)f(x)的值域,討論x,當x≥2時,方程f(x)=g(x)無解,當1<x<2時,記F(x)=f(x)-g(x),然后根據(jù)根的存在性定理可知函數(shù)F(x)在x∈(1,2)內(nèi)有唯一零點
即方程f(x)=g(x)在x∈(1,2)上有唯一解,當0<x≤1時,此時方程無解,從而證得結(jié)論.
解答:解:(1)由x∈[0,2]時,f(x+2)=f(x)有f(2)=f(0)
得|2-m|=|m|
∴m=1
(2)證明:由(1)得f(x)=(
1
2
)
|x-1|

當x∈[0,2]時,f(x)∈[
1
2
,1]
又f(x)是周期為2的周期函數(shù),故f(x)的值域為[
1
2
,1]
當x>2時,g(x)>1>f(x),故此時方程無解;
當x=2時,f(x)≠g(x),方程無解
當1<x<2時,記F(x)=f(x)-g(x)=(
1
2
)
x-1
-log2x
,
F(1)•F(2)=-
1
2
<0,且F(x)單調(diào)遞減,所以函數(shù)F(x)在x∈(1,2)內(nèi)有唯一零點
即方程f(x)=g(x)在x∈(1,2)上有唯一解;
當0<x≤1時,g(x)≤0<f(x),此時方程無解.
綜上可知,方程f(x)=g(x)只有一個實數(shù)解.
點評:本題主要考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,同時考查了分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當x∈[0,
π
2
]時,f(x)=sinx,則f(
3
)的值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

20、已知定義在R上的函數(shù)f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù),函數(shù)f(x)在x=-1處取極值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)討論f(x)在區(qū)間[-3,3]上的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
,當x∈(0,4)時,f(x)=x2-1,則f(2010)=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤
π
2
),最大值與最小值的差為4,相鄰兩個最低點之間距離為π,函數(shù)y=sin(2x+
π
3
)圖象所有對稱中心都在f(x)圖象的對稱軸上.
(1)求f(x)的表達式;    
(2)若f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
,
π
2
]),求cos(x0-
π
3
)的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對應(yīng)值表:
x 0 1 2 3
f(x) 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函數(shù)f(x)一定存在零點的區(qū)間是(  )

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