如圖,在直三棱柱ABC―AlBlC1中,AB⊥BC,E是A1C的中點(diǎn),ED⊥A1C且交AC于D, A1A=AB=BC.
(1)證明:B1C1//平面A1BC;
(2)證明:A1C⊥平面EDB;
(3)求平面A1AB與平面EDB所成的二面角的大小(僅考慮平面角為銳角的情況).
解:(1)∵三棱柱ABC―A1B1C1中,B1C1//BC,又BC平面A1BC,且BlC1平面A1BC,
∴B1C1//平面A1BC.
(2)∵三棱柱ABC―AlBlC1中,A1A⊥AB,
∴Rt△A1AB中,AB=A1B.
∴BC=A1B,∴△A1BC是等腰三角形.
∵E是等腰三角形△A1BC底邊A1C的中點(diǎn),
∴A1C⊥BE,又A1C⊥ED,且ED∩BE=E,
∴A1C⊥平面EDB.
(3)∵A1A、ED平面A1AC,且A1A、ED不平行,故延長(zhǎng)A1A,ED后必相交.
設(shè)交點(diǎn)為F,連接BF,如圖.
∴A1―BF―E是所求的角.
依條件易證明Rt△A1EF≌Rt△A1AC.
∵E為A1C中點(diǎn),∴A為A1F中點(diǎn),
∴AF=A1A=AB,∴∠A1BA=∠ABF=45°
∴∠A1FB=90°,即A1B⊥FB.
又A1E⊥平面EFB,∴EB⊥FB
∴∠A1BE是所求的二面角的平面角.
∵E為等腰直角三角形A1BC底邊的中點(diǎn),
∴∠A1BE=45°.
故所求的二面角的大小為45°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年四川省招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題共l2分)
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[來(lái)源:]
P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年高考試題數(shù)學(xué)理(四川卷)解析版 題型:解答題
(本小題共l2分)
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一
P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:四川省高考真題 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一點(diǎn),P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA.
(I)求證:CD=C1D:
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.
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