Question

【題目】檢驗中心為篩查某種疾病，需要檢驗血液是否為陽性，對份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，需要檢驗次；②混合檢驗，即將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，再對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為.

（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；

（2）現取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為點.當時，根據和的期望值大小，討論當取何值時，采用逐份檢驗方式好？

（參考數據：，，，，，.）

Answer 1

【答案】（1）（2）的取值大于等于9時采用逐份檢驗方式好.

【解析】

（1）記恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件，利用古典概型的概率計算公式，即可得答案；

（2）易得，的取值為1，，利用對立事件可求得，進而得到，所以，兩邊取對數利用導數，可得不等式的解.

（1）記恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件，

則.

（2）易得，的取值為1，，

計算，，

所以，

又，，

令，即.

設，，，

當時，，在上單調遞增；

當時，，在上單調遞減.

且，，

所以的取值大于等于9時采用逐份檢驗方式好.