Question

11．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a_n=2+a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）試寫出a₂，a₃，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=2，a_n=2+a_n-1（n≥2，n∈N^*）．分別令n=2，3可得a₂，a₃，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n=2+a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
∴a₂=2+a₁=4，a₃=2+a₂=6．
變形為：a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為2，公差為2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2²ⁿ=4ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．