Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，若a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和，則

2Sn+16

an+3

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求公差d，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求出a_n、S_n，代入

2Sn+16

an+3

利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)后，利用基本不等式求出式子的最小值．

解答： 解：因?yàn)閍₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，所以a32=a1a13，
又a₁=1，所以（1+2d）²=1×（1+12d），
解得d=2或d=0（舍去），
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1，S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²，
則

2Sn+16

an+3

=

2n2+16

2n+2

=

n2+8

n+1

=

(n+1)2-2(n+1)+9

n+1

=(n+1)+

9

n+1

-2≥2

(n+1)× 9 n+1

-2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)n+1=

9

n+1

時(shí)取等號(hào)，此時(shí)n=2，且

2Sn+16

an+3

取到最小值4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，等比中項(xiàng)的性質(zhì)，基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)式子，湊出積為定值．