Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，求的取值范圍；

（3）若關(guān)于的方程的解集中恰好只有一個(gè)元素，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解得, 注意真數(shù)大于零;

(2) 化簡(jiǎn)得到的值域?yàn)?/span>，故能夠取到一切大于0的實(shí)數(shù)，由于二次項(xiàng)系數(shù)含參，故需要分類討論，當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；故只能，再結(jié)合即得答案.

(3) 化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)方程得到,在的條件下只有一個(gè)根，然后分類討論即可得到答案.

(1) 時(shí)，不等式等價(jià)于,

所以,所以,所以,

所以不等式的解集為.

(2) 因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?/span>,即的值域?yàn)?/span>,故能夠取到一切大于0的實(shí)數(shù),

當(dāng)時(shí),,不符合題意;

當(dāng)時(shí),

不符合題意,

當(dāng)時(shí), 根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得,解得;

綜上所述: 的取值范圍是.

(3) 關(guān)于的方程的解集中恰好只有一個(gè)元素,

所以的解集中恰好只有一個(gè)元素,

即且的解集中恰好只有一個(gè)元素,

所以,即,

①當(dāng)時(shí),解得,此時(shí) ,滿足題意;

②當(dāng)時(shí), ,此時(shí)也滿足題意;

③當(dāng)且時(shí),兩根為,,

當(dāng)時(shí),由 得,

當(dāng)時(shí),由得,

因?yàn)?/span>和只能取一個(gè)值,

所以只能取,所以且,

解得.

綜上所述:的取值范圍是.