Question

已知數(shù)列{a_n}滿足S_n+S_n-1=ta_n²（t＞0，n≥2），且a₁=0，n≥2時(shí)，a_n＞0．其中S_n是數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（III）若對(duì)于n≥2，n∈N*，不等式

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

＜2恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）充分利用相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，利用作差法即可獲得數(shù)列特點(diǎn)．結(jié)合等差數(shù)列的特點(diǎn)根據(jù)分類討論即可獲得問(wèn)題的解答；
（2）根據(jù)第（1）問(wèn)題結(jié)論利用裂項(xiàng)的方法即可求的不等式左邊當(dāng)n≥2時(shí)的前n項(xiàng)和，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t²（1-

1

n

）＜2對(duì)于n≥2，n∈N^*恒成立，再結(jié)合放縮法即可獲得問(wèn)題的解答．

解答：解：（I）依題意，

Sn+Sn-1=t a 2 n ；(n≥2)(1) Sn-1+Sn-2=t a 2 n-1 ．(2)

，
（1）-（2）得a_n+a_n-1=t（a_n²-a_n-1²）（n≥3）．
由已知a_n+a_n-1≠0，故a_n-a_n-1=

1

t

（n≥3），
由a₁=0，S₂+S₁=ta₂²，得a₂=ta₂²，
∴a₂=0（舍）或a₂=

1

t

，
即數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)開(kāi)始是首項(xiàng)為

1

t

，公差為

1

t

的等差數(shù)列．
所以an=a2+(n-2)d=

1

t

+(n-2)?

1

t

=

n-1

t

，（n≥2），又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1-1

t

=0，
所以a_n=

n-1

t

（n∈N^﹡）．
（II）設(shè)T_n=

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

=

t2

1×2

+

t2

2×3

+

t2

3×4

+…+

t2

(n-1)×n

=t²（1-

1

n

）
要使T_n＜2，對(duì)于n≥2，n∈N^*恒成立，只要T_n=t²（1-

1

n

）＜t²≤2成立，所以0＜t≤

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的知識(shí)、分類討論的思想以及恒成立的思想和問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會(huì)反思．