Question

10．如圖，圓C：x²-（2+a）x+y²-ay+2a=0．
（Ⅰ）若圓C與x軸相切，求圓C的方程；
（Ⅱ）已知a＞2，圓C與x軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．過(guò)點(diǎn)M任作一條直線與圓O：x²+y²=10相交于兩點(diǎn)A，B．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由相切，聯(lián)立方程組，由判別式得到答案．
（Ⅱ）先假設(shè)存在，得到交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系式，由此得到斜率，進(jìn)而得到角度相等．

解答 解：（Ⅰ）由方程組$\left\{\begin{array}{l}y=0\\{x^2}-（2+a）x+{y^2}-ay+2a=0\end{array}\right.$

可得：x²-（2+a）x+2a=0，
由題意得△=（2+a）²-8a=（a-2）²=0，
所以a=2
故所求圓C的方程為C：x²-4x+y²-2y+4=0．
（Ⅱ）令y=0，得：x²-（2+a）x+2a=0，即（x-2）（x-a）=0．
所以M（2，0），N（a，0）…（5分）
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，
當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-2），
代入x²+y²=10得，（1+k²）x²-4k²x+4k²-10=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-10}}{{1+{k^2}}}$．
因?yàn)?\frac{y_1}{{{x_1}-a}}+\frac{y_2}{{{x_2}-a}}=\frac{{k[{（{x_1}-2）（{x_2}-a）+（{x_2}-2）（{x_1}-a）}]}}{{（{x_1}-a）（{x_2}-a）}}$
而（x₁-2）（x₂-a）+（x₂-2）（x₁-a）=2x₁x₂-（a+2）（x₁+x₂）+4a=$2•\frac{{4{k^2}-10}}{{1+{k^2}}}-（a+2）\frac{{4{k^2}}}{{1+{k^2}}}+4a$=$\frac{4a-20}{{1+{k^2}}}$，
因?yàn)椤螦NM=∠BNM，
所以$\frac{y_1}{{{x_1}-a}}+\frac{y_2}{{{x_2}-a}}=0$，即$\frac{4a-20}{{1+{k^2}}}=0$，得a=5．
當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，也成立．
故存在a=5，使得∠ANM=∠BNM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓與直線，考查圓的判別式與根的關(guān)系，以及圓與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系式，由此得到斜率和角度．