Question

2．已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0，a，b，c∈R），且方程f（x）=x無實數根．給出下列命題：
①若a=1，則不等式f（f（x））＞x對一切實數x都成立；
②若a=-1，則存在實數x₀，使得f（f（x₀））＞x₀成立；
③若a+b+c=0，則f（f（x））＜x對一切實數x都成立；
④方程f（f（x））=x一定無實數根．
其中正確命題的序號為①③④．

Answer 1

分析 根據函數圖象的位置討論a＞0和a＜0時，f（x）與x的大小關系，從而得出f（f（x））與f（x）的大小關系，進而得出f（f（x））與x的大小關系．

解答 解：∵方程f（x）=x無實根
∴當a＞0，∴f（x）＞x對一切x∈R成立，
∴f[f（x）]＞f（x）＞x，故命題①正確；
同理當a＜0，f（x）＜x對一切x∈R成立．
∴f[f（x）]＜f（x）＜x，故命題②錯誤；命題④正確；
∵a+b+c=0，∴f（1）=0，
又f（x）與y=x無交點，∴a＜0．
∴f[f（x）]＜x恒成立，故命題③正確．
故答案為：①③④．

點評 本題主要考查了二次函數的圖象與性質，不等式的應用，綜合性較強．