Question

8．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=4，E是棱CD上的一點(diǎn)．
（1）求證：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）求證：B₁E⊥AD₁；
（3）若E是棱CD的中點(diǎn)，在棱AA₁上是否存在點(diǎn)P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求出線段AP的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）要證AD₁⊥平面A₁B₁D，只需證明A₁B₁⊥AD₁，AD₁⊥A₁D即可．
（2）要證B₁E⊥AD₁，只需證明AD₁⊥面A₁B₁CD即可說明結(jié)果．
（3）點(diǎn)P是棱AA₁的中點(diǎn)，使得DP∥平面B₁AE，通過在AB₁上取中點(diǎn)M，連接PM₁ME．證明PM∥A₁B₁，且PM=$\frac{1}{2}$A₁B₁，然后說明四邊形PMED是平行四邊形，然后證明DP∥平面B₁AE．

解答 證明：（1）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因?yàn)锳₁B₁⊥面A₁D₁DA，
所以A₁B₁⊥AD₁．  …（2分）
在矩形A₁D₁DA中，因?yàn)锳A₁=AD=2，
所以AD₁⊥A₁D．…（4分）
所以AD₁⊥面A₁B₁D．…（5分）
（2）因?yàn)镋∈CD，所以B₁E?面A₁B₁CD，
由（1）可知，AD₁⊥面A₁B₁CD，…（7分）
所以B₁E⊥AD₁． …（8分）
（3）當(dāng)點(diǎn)P是棱AA₁的中點(diǎn)時(shí)，有DP∥平面B₁AE．
  …（9分）
理由如下：
在AB₁上取中點(diǎn)M，連接PM₁ME．
因?yàn)镻是棱AA₁的中點(diǎn)，M是AB₁的中點(diǎn)，
所以PM∥A₁B₁，且PM=$\frac{1}{2}$A₁B₁．…（10分）
又DE∥A₁B₁，且DE=$\frac{1}{2}$A₁B₁．
所以PM∥DE，且M=DE，
所以四邊形PMED是平行四邊形，
所以DP∥ME．…（11分）
又DP?面B₁AE，ME?面B₁AE，
所以DP∥平面B₁AE．此時(shí)，AP=$\frac{1}{2}$A₁A=2． …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、線線垂直的證明，考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．