Question

已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為（2

2

，0），且橢圓Γ過(guò)點(diǎn)（3，1）．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）設(shè)斜率為1的直線l與橢圓Γ交于不同兩點(diǎn)A、B，以線段AB為底邊作等腰三角形PAB，其中頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，2），求△PAB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為（2

2

，0），且橢圓Γ過(guò)點(diǎn)（3，1），建立方程，即可求橢圓Γ的方程；
（2）設(shè)l：y=x+b，代

x2

12

+

y2

4

=1，得4x²+6bx+3b²-12=0，根據(jù)韋達(dá)定理，可得y_A+y_B=

b

2

，求出AB的中垂線，由此能求出△PAB的面積．

解答： 解：（1）由已知得c=2

2

，
∵橢圓Γ過(guò)點(diǎn)（3，1），
∴

9

a2

+

1

b2

=1，
∵a²-b²=8，
∴解得a²=12，b²=4，
∴橢圓Γ的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．             …（6分）
（2）設(shè)l：y=x+b，
代入

x2

12

+

y2

4

=1，得4x²+6bx+3b²-12=0，
根據(jù)韋達(dá)定理x_A+x_B=-

3b

2

，x_Ax_B=

3b2-12

4

，
∴y_A+y_B=

b

2

，
設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則M（-

3b

4

，

b

4

），AB的中垂線的斜率k=-1，
∴AB的中垂線：x+y+

b

2

=0，將P（-3，2）代入，得b=2，
∴l(xiāng)：x-y+2=0，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得AB=3

2

，d=

3

2

，
∴S_△PAB=

1

2

×3

2

×

3

2

=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和三角形面積的求法，具體涉及到橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線和橢圓的位置關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、中垂線方程的求法、弦長(zhǎng)公式等基本知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用．