Question

17．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁，且AA₁=AB=2
（1）求證：AB⊥BC；
（2）若AC=2$\sqrt{2}$，求銳二面角A-A₁C-B的大�。�

Answer 1

分析 （1）取A₁B的中點D，連接AD，推導出AD⊥A₁B，從而AD⊥平面A₁BC，進而AD⊥BC，由線面垂直得AA₁⊥BC，由此能證明AB⊥BC．
（2）過點A作AE⊥A₁C于點E，連DE，推導出∠AED即為二面角A-A₁C-B的一個平面角，由此能求出二面角A-A₁C-B的大�。�

解答 證明：（1）如右圖，取A₁B的中點D，連接AD
因AA₁=AB，則AD⊥A₁B，…1分
由平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩側面A₁ABB₁=A₁B，
得AD⊥平面A₁BC，…3分
又BC?平面A₁BC，
所以AD⊥BC．…4分
因為三棱柱ABC---A₁B₁C₁是直三棱柱，則AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BC．…5分
又AA₁∩AD=A，從而BC⊥側面A₁ABB₁，
又AB?側面A₁ABB₁，故AB⊥BC．…7分
解：（2）過點A作AE⊥A₁C于點E，連DE．
由（1）知AD⊥平面A₁BC，則AD⊥A₁C，且AE∩AD=A，
∴∠AED即為二面角A-A₁C-B的一個平面角，…9分
且直角△A₁AC中：$AE=\frac{{{A_1}A•AC}}{{{A_1}C}}=\frac{{2×2\sqrt{2}}}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$…10分
又$AD=\sqrt{2}$，$∠ADE=\frac{π}{2}$，
∴$sin∠AED=\frac{AD}{AE}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…11分
由二面角A-A₁C-B為銳二面角，∴$∠AED=\frac{π}{3}$，
即二面角A-A₁C-B的大小為$\frac{π}{3}$．…12分．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．