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某地西紅柿上市時間僅能持續(xù)5個月,預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續(xù)上漲勢態(tài),而中期又將出現供大于求使價格連續(xù)下跌.現有三種價格模擬函數:①f(x)=a•bx,②f(x)=ax2+bx+1,③f(x)=x(x-b)2+a,(以上三式中a,b均是不為零的常數,且b>1)
(1)為了準確研究其價格走勢,應選擇哪種價格模擬函數,為什么?
(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所選函數f(x)的解析式(注:函數的定義域是[0,5]).其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,…,以此類推;為保證該地的經濟收益,當地政府計劃在價格下跌期間積極拓寬外銷,請你預測該西紅柿將在哪幾個月份內價格下跌.

解:(1)依題意,符合本題函數模型的函數必須先單調遞增,再單調遞減,最后單調遞增,所以最符合的函數模型為③f(x)=x(x-b)2+a.
分析:∵f(x)=x(x-b)2+a=x3-2bx2+b2x+a.
對此函數求導,得
,
由f′(x)=0,得.由b>1知,
f(x)在和[b,+∞)上單調遞增,在()上單調遞減,符合題意.
(2)將f(0)=4,f(2)=6代入f(x)=x(x-b)2+a=x3-2bx2+b2x+a.得
,解得
∴f(x)=x3-6x2+9x+4(x∈[0,5]).
f′(x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1),
由(1)得f(x)在(1,3)上單調遞減,
依題意,可以預測這種西紅柿將在9,10兩月份價格下跌.
分析:(1)由題意可知函數必須先單調遞增,再單調遞減,最后單調遞增,題中所給的三種函數模型僅有③符合,然后利用導數加以證明;
(2)將f(0)=4,f(2)=6代入函數模型,求得函數解析式,然后利用導函數求出單調減區(qū)間,結合題意即可得到答案.
點評:本題考查了函數的模型的選擇及應用,考查了利用導數研究函數的單調性,訓練了利用代值法求函數解析式,屬中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

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(1)為了準確研究其價格走勢,應選擇哪種價格模擬函數,為什么?
(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所選函數f(x)的解析式(注:函數的定義域是[0,5]).其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,…,以此類推;為保證該地的經濟收益,當地政府計劃在價格下跌期間積極拓寬外銷,請你預測該西紅柿將在哪幾個月份內價格下跌.

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科目:高中數學 來源:2012-2013學年福建省泉州市晉江市養(yǎng)正中學高二(下)第一次月考數學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

某地西紅柿上市時間僅能持續(xù)5個月,預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續(xù)上漲勢態(tài),而中期又將出現供大于求使價格連續(xù)下跌.現有三種價格模擬函數:①f(x)=a•bx,②f(x)=ax2+bx+1,③f(x)=x(x-b)2+a,(以上三式中a,b均是不為零的常數,且b>1)
(1)為了準確研究其價格走勢,應選擇哪種價格模擬函數,為什么?
(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所選函數f(x)的解析式(注:函數的定義域是[0,5]).其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,…,以此類推;為保證該地的經濟收益,當地政府計劃在價格下跌期間積極拓寬外銷,請你預測該西紅柿將在哪幾個月份內價格下跌.

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科目:高中數學 來源:2014屆福建省晉江市高二下第一次月考文數試卷(解析版) 題型:解答題

某地西紅柿上市時間僅能持續(xù)5個月,預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續(xù)上漲勢態(tài),而中期又將出現供大于求使價格連續(xù)下跌。現有三種價格模擬函數:①,②,③,(以上三式中均是不為零的常數,且)

(1)    為了準確研究其價格走勢,應選擇哪種價格模擬函數,為什么?

(2)若,求出所選函數的解析式(注:函數的定義域是)。其中表示8月1日,表示9月1日,……,以此類推;為保證該地的經濟收益,當地政府計劃在價格下跌期間積極拓寬外銷,請你預測該西紅柿將在哪幾個月份內價格下跌。

 

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

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(1)為了準確研究其價格走勢,應選擇哪種價格模擬函數,為什么?
(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所選函數f(x)的解析式(注:函數的定義域是[0,5]).其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,…,以此類推;為保證該地的經濟收益,當地政府計劃在價格下跌期間積極拓寬外銷,請你預測該西紅柿將在哪幾個月份內價格下跌.

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