Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率為

1

2

，橢圓C的右焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線AB交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求證：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值，并求出這個(gè)值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)M（x₀，2），由已知得

c a = 1 2 2-0 x0-c =-1 2+0 2 = c+x0 2 +1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得x₁x₂+y₁y₂=0，設(shè)AB所在的直線方程為：y=kx+m，代入橢圓方程3x²+4y²=12，整理得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式、橢圓性質(zhì)能證明

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值

7

12

．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率為

1

2

，
橢圓C的右焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)M（x₀，2），
∴

c a = 1 2 2-0 x0-c =-1 2+0 2 = c+x0 2 +1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，c=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
設(shè)AB所在的直線方程為：y=kx+m，代入橢圓方程3x²+4y²=12，
整理得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
∵點(diǎn)A、B在橢圓上，
由韋達(dá)定理，得x₁+x₂=-

8km

4k2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
由x₁x₂+y₁y₂=0，得
x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
即

4m2-12

4k2+3

+

k2(4m2-12)

4k2+3

-

8k2m2

4k2+3

+m²=0
化簡(jiǎn)得：7m²=12（1+k²）

m2

1+k2

=

12

7

，即

|m|

1+k2

=

2 3

7

，
點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|m|

1+k2

=

2 3

7

為定值，
Rt△AOB中，OA²+OB²=AB²，S_△AOB=

OA×OB

2

=

AB×d

2

，
∴：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

|OA|2+|OB|2

|OA|2•|OB|2

=

|AB|2

(|AB|•d)2

=

1

d2

=

7

12

．
∴

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值

7

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值的證明，解題時(shí)要注意韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式、橢圓性質(zhì)、函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．