Question

17．已知定點(diǎn)A（2，0），圓x²+y²=1上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，∠AOQ的角平分線交AQ于點(diǎn)P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由三角形內(nèi)角平分線定理寫出方程組，解出x₀和y₀，代入已知圓的方程即可．

解答 解：在△AOQ中，
∵OP是∠AOQ的平分線
∴$\frac{|AP|}{|QP|}=\frac{|OA|}{|OQ|}=2$，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）；Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2+2{x}_{0}}{1+2}}\\{y=\frac{0+2{y}_{0}}{1+2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3x-2}{2}}\\{{y}_{0}=\frac{3}{2}y}\end{array}\right.$，
∵Q（x₀，y₀）在圓x²+y²=1上運(yùn)動(dòng)，
∴x₀²+y₀²=1
即$（\frac{3x-2}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}y）^{2}=1$，
∴$（x-\frac{2}{3}）^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{9}$．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為$（x-\frac{2}{3}）^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，訓(xùn)練了代入法求曲線的軌跡方程，運(yùn)用此法注意將要求的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為（x，y），最后求得的x與y的關(guān)系式即為所求，是中檔題．