Question

已知數(shù)列{a_n}是首項為15、公差為整數(shù)的等差數(shù)列，前n項的和是S_n，S₁₁≥0，S₁₂＜0，S_n的最大值是S，函數(shù)y=f（x）滿足f（1+x）=f（5-x）對任意實數(shù)x都成立，且y=f（x） 的所有零點和恰好為S，則y=f（x）的零點的個數(shù)為________．

Answer 1

15個
分析：根據(jù)已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，求出數(shù)列的公差d，進(jìn)而求出數(shù)列的前n項的是S_n的最大值是S，由函數(shù)y=f（x）滿足f（1+x）=f（5-x）對任意實數(shù)x都成立，分析也函數(shù)圖象關(guān)于直線x=3對稱，即函數(shù)y=f（x）所有零點的平均數(shù)為3，進(jìn)而求出函數(shù)零點的個數(shù)．
解答：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則d∈Z
∵S₁₁=11•a₆≥0，
∴a₆=a₁+5d=15+5d≥0，
解得d≥-3…①
又∵S₁₂=•12=•12=180+66d＜0，
解得d＜…②
由①②得d=-3
則S_n=n²+n
則當(dāng)n=5或n=6時，S_n的最大值是S=45
∵函數(shù)y=f（x）滿足f（1+x）=f（5-x）對任意實數(shù)x都成立
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱
即函數(shù)y=f（x）所有零點的平均數(shù)為3
又∵y=f（x） 的所有零點和恰好為S=45
∴y=f（x）的零點共有=15個
故答案為：15
點評：本題考查的知識點是函數(shù)零點，函數(shù)的對稱性，等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項和，是數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．