Question

（2013•煙臺(tái)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=m（x-

1

x

）-21nx，g（x）=

2e

x

（m是實(shí)數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)m=2e時(shí)，求f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象相切于點(diǎn)（1，0），求m的值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)大于0和小于0，求出函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=m+

m

x2

-

2

x

，再設(shè)直線l：y=2（m-1）（x-1），將直線的方程與g（x）=

2e

x

聯(lián)立方程組，消去y得到關(guān)于x的二次方程，再利用l與g（x）的圖象相切，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即可得出m的值．

解答：解：（1）當(dāng)m=2e時(shí)，
∵f（x）=2e（x-

1

x

）-21nx，g（x）=

2e

x

，
∴f（x）+g（x）=2e（x-

1

x

）-21nx+

2e

x

=2ex-lnx，
f′（x）+g′（x）=2e-

2

x

，
故當(dāng)x＞

1

e

，f（x）+g（x）是增函數(shù)；當(dāng)0＜x＜

1

e

時(shí)，f（x）+g（x）是減函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）+g（x）的增區(qū)間是（

1

e

，+∞）；減區(qū)間是（0，

1

e

）．
（2）∵f′（x）=m+

m

x2

-

2

x

，∴f′（1）=2（m-1），設(shè)直線l：y=2（m-1）（x-1），
由

y=2(m-1)(x-1) y= 2e x

得（m-1）（x-1）=

e

x

，即（m-1）x²-（m-1）x-e=0，
當(dāng)m=1時(shí)，方程無(wú)解；
當(dāng)m≠1時(shí)，∵l與g（x）的圖象相切，
∴（m-1）²-4（m-1）（-e）=0，得m=1-4e．
綜上，m=1-4e．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查曲線的切線，綜合性比較強(qiáng)．