分析 (1)由已知向量的坐標(biāo)求出→a−→的坐標(biāo),代入|→a-\overrightarrow|=√3,整理可得cos(β-α)=12,再結(jié)合α,β的范圍求得β-α的值;
(2)求出sin(β-α),cos(β-α)的值,結(jié)合cosα=35求得sinβ與cosβ的值,再由二倍角公式求得sin2β的值.
解答 解:(1)∵→a=(cosα,sinα),\overrightarrow=(2cosβ,2sinβ),
∴→a−→=(cosα−2cosβ,sinα−2sinβ),
則√(cosα−2cosβ)2+(sinα−2sinβ)2=√3,
∴cos2α+sin2α+4cos2β+4sin2β-4cosαcosβ-4sinαsinβ=3,
化簡得:cos(β-α)=12.
∵0<α<β<π,
∴0<β-α<π,則β−α=π3;
(2)由(1)知β−α=π3,則sin(β-α)=√32,cos(β-α)=12,
又cosα=35,且0<α<β<π,
∴sinα=45,
則cosβ=cos[(β-α)+α]=cos(β-α)cosα-sin(β-α)sinα=12×35−√32×45=3−4√310,
sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα=√32×35+12×45=4+3√310,
∴sin2β=2sinβcosβ=2×4+3√310×3−4√310=−24−7√350.
點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)、余弦函數(shù),考查了三角函數(shù)的化簡與求值,考查計(jì)算能力,體現(xiàn)了“拆角配角”思想方法的運(yùn)用,是中檔題.
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A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | 0 |
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A. | (-5,-3)∪(3,5) | B. | [-5,-3)∪(3,5] | C. | (-5,-3) | D. | (3,5) |
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