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6.已知向量a=(cosα,sinα),=(2cosβ,2sinβ),0<α<β<π,且|a-|=3
(1)求β-α的值;
(2)若cosα=35,求sin2β的值.

分析 (1)由已知向量的坐標(biāo)求出a的坐標(biāo),代入|a-\overrightarrow|=3,整理可得cos(β-α)=12,再結(jié)合α,β的范圍求得β-α的值;
(2)求出sin(β-α),cos(β-α)的值,結(jié)合cosα=35求得sinβ與cosβ的值,再由二倍角公式求得sin2β的值.

解答 解:(1)∵a=(cosα,sinα),\overrightarrow=(2cosβ,2sinβ),
a=cosα2cosβsinα2sinβ,
cosα2cosβ2+sinα2sinβ2=3,
∴cos2α+sin2α+4cos2β+4sin2β-4cosαcosβ-4sinαsinβ=3,
化簡得:cos(β-α)=12
∵0<α<β<π,
∴0<β-α<π,則βα=π3;
(2)由(1)知βα=π3,則sin(β-α)=32,cos(β-α)=12
又cosα=35,且0<α<β<π,
∴sinα=45,
則cosβ=cos[(β-α)+α]=cos(β-α)cosα-sin(β-α)sinα=12×3532×45=34310,
sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα=32×35+12×45=4+3310,
∴sin2β=2sinβcosβ=2×4+3310×34310=247350

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)、余弦函數(shù),考查了三角函數(shù)的化簡與求值,考查計(jì)算能力,體現(xiàn)了“拆角配角”思想方法的運(yùn)用,是中檔題.

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