Question

（2012•北京模擬）某港口海水的深度y（米）是時間t（時）（0≤t≤24）的函數(shù)，記為：y=f（t）．
已知某日海水深度的數(shù)據(jù)如下：

t（時）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

經(jīng)長期觀察，y=f（t）的曲線可近似地看成函數(shù)y=Asinωt+b的圖象．
（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=f（t）=Asinωt+b的振幅、最小正周期和表達式；
（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5米或5米以上時認為是安全的（船舶停靠時，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5米，如果該船希望在同一天內(nèi)安全進出港，請問，它至多能在港內(nèi)停留多長時間（忽略進出港所需時間）？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可得函數(shù)y=f（t）=Asinωt+b的振幅、最小正周期和表達式；
（2）該船安全進出港，需滿足：y≥6.5+5，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）依題意，最小正周期為：T=12，振幅：A=3，b=10，ω=

2π

T

=

π

6

．
所以y=f(t)=3sin(

π

6

•t)+10．
（2）該船安全進出港，需滿足：y≥6.5+5．即：3sin(

π

6

•t)+10≥11.5．
所以sin(

π

6

•t)≥

1

2

．
所以2kπ+

π

6

≤

π

6

•t≤2kπ+

5π

6

(k∈Z)．
所以12k+1≤t≤12k+5（k∈Z）．
又0≤t≤24，所以1≤t≤5或13≤t≤17．
所以，該船至多能在港內(nèi)停留：17-1=16（小時）．

點評：本題考查用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題．三角函數(shù)是描繪周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，掌握正弦函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的性質(zhì)是關(guān)鍵．