Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax²-blnx在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=1；
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），根據(jù)題意列出方程組$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f（1）=1}\end{array}\right.$，解方程組求出a、b的值；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出f（x）在定義域上的最小值f（x）_min．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ax²-blnx，∴x＞0，f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$；
又∵函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f（1）=1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2a-b=0}\\{a=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x²-2lnx，
f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$，
由f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=2•$\frac{{x}^{2}-1}{x}$=0，
解得x=±1（負(fù)值舍去），
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最值問(wèn)題，也考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．