Question

11．函數(shù)f（x）=log_a（x+1），（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點（-$\frac{3}{4}$，-2），圖象上有三個點A、B、C，它們的橫坐標依次為t-1，t，t+1，（t≥1），記三角形ABC的面積為S（t），
（1）求f（x）的表達式；
（2）求S（1）；
（3）是否存在正整數(shù)m，使得對于一切不小于1的t，都有S（t）＜m，若存在求的最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=log_a（x+1），（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點（-$\frac{3}{4}$，-2），求出a，即可求出f（x）的表達式；
（2）S（1）=$\frac{1}{2}$（x_B-x_A）•y_B+$\frac{1}{2}$（{x_C-x_B）•（y_B+y_C）-$\frac{1}{2}$（x_C-x_A）•y_C，即可求S（1）；
（3）要使對一切不小于1的t，S（t）＜m均成立，只需m＞S（t）_max，即可得出結論．

解答 解：（1）∵f（x）=log_a（x+1），（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點（-$\frac{3}{4}$，-2），
∴-2=log_a（-$\frac{3}{4}$+1），∴a=2…（3分）
∴f（x）=log₂x；
（2）當t=1時，A（0，0），B（1，1），C（2，log₂3），…（4分）
∴S（1）=$\frac{1}{2}$（x_B-x_A）•y_B+$\frac{1}{2}$（{x_C-x_B）•（y_B+y_C）-$\frac{1}{2}$（x_C-x_A）•y_C=1-$\frac{1}{2}$log₂3…（6分）
（3）由圖知：S（t）=$\frac{1}{2}$[log₂t+log₂（t+1）]+$\frac{1}{2}$[log₂（t+1）+log₂（t+2）]-$\frac{1}{2}$[log₂t+log₂（t+2）}]×2
=$\frac{1}{2}$log₂[{1+$\frac{1}{t（t+2）}$]…（8分）
∵對一切不小于1的t，t（t+2）≥3，0＜$\frac{1}{t（t+2）}$≤$\frac{1}{3}$，
∴1＜1+$\frac{1}{t（t+2）}$≤$\frac{4}{3}$，
∴0＜log₂[{1+$\frac{1}{t（t+2）}$]≤log₂$\frac{4}{3}$，
∴0＜$\frac{1}{2}$log₂[{1+$\frac{1}{t（t+2）}$]≤$\frac{1}{2}$log₂$\frac{4}{3}$，…（10分）
要使對一切不小于1的t，S（t）＜m均成立，只需m＞S（t）_max，
∴m＞$\frac{1}{2}$log₂$\frac{4}{3}$（11分）
又∵m∈N*，∴m=1…（12分）

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．