Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

1

2

x2+x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)g（x）=

2

3

x3+x-

1

6

(x＞0)，求證：a=1時f（x）的圖象都不在g（x）圖象的上方．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過導數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性．求出單調(diào)區(qū)間．
（2）構(gòu)造函數(shù)υ(x)=f(x)-g(x)=lnx+

1

2

x2-(

2

3

x3+

1

6

)，(x＞0)，通過函數(shù)的導數(shù)，求出函數(shù)的最值，通過函數(shù)的最值說明結(jié)論．

解答： 解：（1）f/(x)=

a

x

+x+1=

x2+x+a

x

當a≥

1

4

時，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當a＜

1

4

時，令f′（x）=0，x1，2=

-1± 1-4a

2

，∵x＞0，
又當0≤a＜

1

4

時，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；---------（7分）
當a＜0時，f′（x）≥0，x≥

-1+ 1-4a

2

，f′（x）＜0，0＜x＜

-1+ 1-4a

2

，
故f（x）在(0，

-1+ 1-4a

2

)單調(diào)遞減，在(

-1+ 1-4a

2

，+∞)單調(diào)遞增；
綜上所述：當a≥0時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當a＜0時，f（x）在(0，

-1+ 1-4a

2

)單調(diào)遞減，在(

-1+ 1-4a

2

，+∞)單調(diào)遞增．
（2）令υ(x)=f(x)-g(x)=lnx+

1

2

x2-(

2

3

x3+

1

6

)，(x＞0)，則υ/(x)=

1

x

+x-2x2=

1+x2-2x3

x

=

(1-x)(2x2+x+1)

x

．
令υ′（x）=0得x=1，當0＜x＜1時υ′（x）＞0，
當x＞1時υ′（x）＜0，故υ（x）_max=υ（1）=0，υ（x）≤0，
即f（x）≤g（x），
所以a=1時f（x）的圖象都不在g（x）圖象的上方．---------------（14分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．