【題目】在平面直角坐標系xOy中,橢圓E: =1(a>b>0)的離心率為 ,兩個頂點分別為A(﹣a,0),B(a,0),點M(﹣1,0),且3 = ,過點M斜率為k(k≠0)的直線交橢圓E于C,D兩點,其中點C在x軸上方.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若BC⊥CD,求k的值;
(3)記直線AD,BC的斜率分別為k1 , k2 , 求證: 為定值.

【答案】
(1)解:因為3 = ,所以3(﹣1+a,0)=(a+1,0),解得a=2.

又因為 = ,所以c= ,所以b2=a2﹣c2=1,

所以橢圓E的方程為 +y2=1.


(2)解:設(shè)點C的坐標為(x0,y0),y0>0,

=(﹣1﹣x0,﹣y0), =(2﹣x0,﹣y0).

因為BC⊥CD,所以(﹣1﹣x0)( 2﹣x0)+y02=0. ①

又因為 +y02=1,②

聯(lián)立①②,解得x0=﹣ ,y0= ,

所以k= =2


(3)解:設(shè)C(x0,y0),則CD:y= (x+1)(﹣2<x0<2且x0≠﹣1),

消去y,

得x2+8y02x+4y02﹣4(x0+1)2=0.

又因為 +y02=1,所以得D( , ),

所以 = = =3,

所以 為定值.


【解析】(1)由3 = ,得a 即可;(2)設(shè)點C的坐標為(x0 , y0),y0>0,由BC⊥CD,得(﹣1﹣x0)( 2﹣x0)+y02=0.解得x0=﹣ ,y0= ,即可.(3),設(shè)C(x0 , y0),則CD:y= (x+1)(﹣2<x0<2且x0≠﹣1), 由 消去y,得x2+8y02x+4y02﹣4(x0+1)2=0,得D( , ),可求 .

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