Question

記min{p，q}=

p，p≤q q．p＞q

．
（1）若函數(shù)f(x)=min{

x

，

2

3

(x-1)}，求f（x）表達式
（2）求f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}=3|x-p1|，對所有實數(shù)x成立的充分必要條件（用p₁，p₂表示）；
（3）若f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}，且f（a）=f（b）（a，bp₁，p₂為實數(shù)，且a＜bp₁，p₂∈（a，b））求f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度和（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)新定義，可知函數(shù)是取兩個函數(shù)值中較小者，由此確定函數(shù)是分段函數(shù)；
（2）由f（x）的定義可知，f(x)=3|x-p1|這等價于3|x-p1|≤2•3|x-p2|即 3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2對所有實數(shù)x均成立，從而等價于3|p1-p2|≤2，故可求充分必要條件    
（3）根據(jù)函數(shù)是分段函數(shù)，分兩種情況：1°|p₁-p₂|≤log₃2，則圖象關(guān)于直線x=p₁對稱．易得減區(qū)間為[a，p₁]，增區(qū)間為[p₁，b]，從而可求單調(diào)增區(qū)間的長度和；2°|p₁-p₂|＞log₃2．當p₁-p₂＞log₃2時．f₁（x）=

3x-p1，x∈[p1，b] 3p1-x，x∈[a，p1]

，f₂（x）=

3x-p2+log32，x∈[p2，b] 3p 2-x+log32，x∈[a，p2]

從而可求單調(diào)增區(qū)間的長度和；p₂-p₁＞log₃2時，同理可求．

解答：解：（1）f（x）=

x    x ≤ 2 3 (x-1) 2 3 (x-1)    x ＞ 2 3 (x-1)

=

x   ，x∈[4，+∞)

&

2

3

(x-1)

& &x∈[0，4)

5分
（2）由f（x）的定義可知，f(x)=3|x-p1|這等價于3|x-p1|≤2•3|x-p2|（對所有實數(shù)x）
即 3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2對所有實數(shù)x均成立．（*）                  8分
由于|x-p₁|-|x-p₂|≤|（x-p₁）-（x-p₂）|=|p₁-p₂|（x∈R）的最大值為|p₁-p₂|，
故（*）等價于3|p1-p2|≤2，即|p₁-p₂|≤log₃2，這就是所求的充分必要條件      11分
（3）1°如果|p₁-p₂|≤log₃2，則的圖象關(guān)于直線x=p₁對稱．因為f（a）=f（b），
所以區(qū)間[a，b]關(guān)于直線x=p₁對稱．因為減區(qū)間為[a，p₁]，增區(qū)間為[p₁，b]，
所以單調(diào)增區(qū)間的長度和為

b-a

2

14分
2°如果|p₁-p₂|＞log₃2．
（1）當p₁-p₂＞log₃2時．f₁（x）=

3x-p1，x∈[p1，b] 3p1-x，x∈[a，p1]

，f₂（x）=

3x-p2+log32，x∈[p2，b] 3p 2-x+log32，x∈[a，p2]

當x∈[p₁，b]，

f1(x)

f2(x)

=3p2-p1-log32＜30=1，因為f₁（x）＞0，f₂（x）＞0，所以f₁（x）＜f₂（x），
故f（x）=f₁（x）=3x-p1，當x∈[a，p₂]，

f1(x)

f2(x)

=3p1-p2-log32＞30=1，因為f₁（x）＞0，f₂（x）＞0，
所以f₁（x）＞f₂（x）故f（x）=f₂（x）=3p2-x+log32
因為f（a）=f（b），所以3b-p1=3p2-a+log32，即a+b=p₁+p₂+log₃2
當x∈[p₂，p₁]時，令f₁（x）=f₂（x），則3p1-x=3x-p2+log32，所以x=

p1+p2-log32

2

，
當x∈[p₂，

p1+p2-log32

2

]時，f₁（x）≥f₂（x），所以f（x）=f₂（x）=3x-p2+log32x∈[

p1+p2-log32

2

，p1]時，f₁（x）≤f₂（x），所以f（x）=f₁（x）=3p1-xf（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度和b-p₁+

p1+p2-log32

2

-p2
=b-

p1+p2+log32

2

=b-

a+b

2

=

b-a

2

16分
（2）當p₂-p₁＞log₃2時．類似可求得：f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度和b-p₂+

p1+p2+log32

2

-p1=b-

p1+p2-log32

2

=

b-a

2

綜上得f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為

b-a

2

18分．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查新定義，關(guān)鍵是對新定義的理解，表示一個分段函數(shù)，綜合性，難度大．