Question

以下五個關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①平面內(nèi)到定點(diǎn)A（1，0）和定直線l：x=2的距離之比為

1

2

的點(diǎn)的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
②點(diǎn)P是拋物線y²=2x上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M點(diǎn)A的坐標(biāo)是A（3，6），則|PA|+|PM|的最小值是6；
③平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于常數(shù)λ（λ＞0）的點(diǎn)的軌跡是圓；
④若動點(diǎn)M（x，y）滿足

(x-1)2+(y+2)2

=|2x-y-4|，則動點(diǎn)M的軌跡是雙曲線；
⑤若過點(diǎn)C（1，1）的直線l交橢圓

x2

4

+

y2

3

=1于不同的兩點(diǎn)A，B，且C是AB的中點(diǎn)，則直線l的方程是3x+4y-7=0．
其中真命題的序號是

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①求出平面內(nèi)到定點(diǎn)A（1，0）和定直線l：x=2的距離之比為

1

2

的點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷

x2

4

+

y2

3

=1的正誤；
②確定點(diǎn)A（3，6）的位置，即可判定|PA|+|PM|的最小值是6是否正確；
③找出反例即可否定平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于常數(shù)λ（λ＞0）的點(diǎn)的軌跡是圓；
④利用雙曲線的第二定義判斷：若動點(diǎn)M（x，y）滿足

(x-1)2+(y+2)2

=|2x-y-4|，則動點(diǎn)M的軌跡是雙曲線是否正確；
⑤若過點(diǎn)C（1，1）的直線l交橢圓

x2

4

+

y2

3

=1于不同的兩點(diǎn)A，B，且C是AB的中點(diǎn)，求出直線l的方程是否為3x+4y-7=0，即可判定正誤．

解答：解：①平面內(nèi)到定點(diǎn)A（1，0）和定直線l：x=2的距離之比為

1

2

的點(diǎn)的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1，顯然不正確，因?yàn)椋?，0）在直線x=2上；
②點(diǎn)P是拋物線y²=2x上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M點(diǎn)A的坐標(biāo)是A（3，6），則|PA|+|PM|的最小值是6；因?yàn)椋?，6）在拋物線的內(nèi)部，所以正確；
③平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于常數(shù)λ（λ＞0）的點(diǎn)的軌跡是圓，λ=1時(shí)是直線，所以不正確；
④若動點(diǎn)M（x，y）滿足

(x-1)2+(y+2)2

=|2x-y-4|，則動點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，顯然不正確，因?yàn)椴粷M足雙曲線的定義；
⑤若過點(diǎn)C（1，1）的直線l交橢圓

x2

4

+

y2

3

=1于不同的兩點(diǎn)A，B，且C是AB的中點(diǎn)，則直線l的方程是3x+4y-7=0，滿足題意，正確．
故答案為：②⑤

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查圓錐曲線的基本性質(zhì)，軌跡方程的求法，綜合能力比較強(qiáng)，知識面比較寬，�？碱}型．