Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，橢圓C的長軸長為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx-$\sqrt{3}$與橢圓C交于A，B兩點，是否存在實數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的焦半距為c，利用離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，橢圓C的長軸長為4．列出方程組求解c，推出b，即可得到橢圓的方程．
（2）存在實數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O．設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線l的方程$y=kx-\sqrt{3}$代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，化簡，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積為0，轉(zhuǎn)化為：x₁x₂+y₁y₂=0．求解即可．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)，得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，所以b²=a²-c²=4-3=1，
故所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）存在實數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O．
理由如下：
設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線l的方程$y=kx-\sqrt{3}$代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
并整理，得$（1+4{k^2}）{x^2}-8\sqrt{3}x+8=0$．（*）
則${x_1}+{x_2}=\frac{{8\sqrt{3}k}}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{8}{{1+4{k^2}}}$．
因為以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}-\sqrt{3}k（{x_1}+{x_2}）+3$
于是$\frac{8}{{1+4{k^2}}}-\frac{{4{k^2}-3}}{{1+4{k^2}}}=0$，解得$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$，
經(jīng)檢驗知：此時（*）式的△＞0，符合題意．
所以當(dāng)$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$時，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O．

點評 本題考查橢圓方程的求法，橢圓的簡單性質(zhì)，直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．