設二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有兩個實根α和β,且滿足6α-2αβ+6β=3.
(1)試用an表示an+1;
(2)求證:{an-
23
}是等比數(shù)列.
分析:(1)由二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有兩個實根α和β,知α+β=
an+1
an
,αβ=
1
an
,由6α-2αβ+6β=3,得
6an+1
an
-
2
an
= 3
,由此能用用an表示an+1
(2)由an+1=
1
2
an+
1
3
,知an+1-
2
3
=
1
2
(an-
2
3
)
,由此能夠證明{an-
2
3
}
是等比數(shù)列.
解答:(1)解:∵二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有兩個實根α和β,
α+β=
an+1
an
,αβ=
1
an

∵6α-2αβ+6β=3,∴
6an+1
an
-
2
an
= 3
,
即6an+1-2=3an,得an+1=
1
2
an+
1
3

(2)證明:∵an+1=
1
2
an+
1
3
,
an+1-
2
3
=
1
2
an+
1
3
-
2
3
=
1
2
an-
1
3

an+1-
2
3
=
1
2
(an-
2
3
)
,
所以{an-
2
3
}
是等比數(shù)列.
點評:本題考查根與系數(shù)的關系的應用和等比數(shù)列的證明,是基礎題.解題時要認真審題,仔細解答.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有兩根α、β,且滿足6α-2αβ+6β=3.
(1)試用an表示an+1;
(2)求證:{an-
2
3
}是等比數(shù)列;
(3)若a1=
7
6
,求數(shù)列{an}的通項公式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設二次方程anx2-an+1x+1=0,n∈N+有兩根α和β,且滿足6α-2αβ+6β=3,a1=1
(1)試用an表示an+1;            
(2)證明{an-
2
3
}
是等比數(shù)列;
(3)設cn=n•(an-
2
3
)
,n∈N+,Tn為{cn}的前n項和,證明:Tn
4
3
(n∈N+).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設二次方程anx2-an+1x+1=0,n∈N+有兩根α和β,且滿足6α-2αβ+6β=3,a1=1
(1)試用an表示an+1;
(2)證明{an-
2
3
}
是等比數(shù)列;
(3)設cn=n•(an-
2
3
)
,n∈N+,Tn為{cn}的前n項和,證明Tn<2,(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設二次方程anx2-an+1x+1=0,n∈N+有兩根α和β,且滿足6α-2αβ+6β=3,a1=1.
(1)證明:{an-
2
3
}
是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(2)設cn=n•(an-
2
3
)
,n∈N+,Tn為{cn}的前n項和,證明:Tn<2,(n∈N+).

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