Question

如圖，實(shí)線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的半徑都是2km，點(diǎn)P在圓Q上，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點(diǎn)都在圓P上的多邊形活動(dòng)場(chǎng)地．

（1）如圖甲，要建的活動(dòng)場(chǎng)地為△RST，求場(chǎng)地的最大面積；
（2）如圖乙，要建的活動(dòng)場(chǎng)地為等腰梯形ABCD，求場(chǎng)地的最大面積．

Answer 1

分析：（1）先過S作SH⊥RT于H，則有：S_△RST=

1

2

SH•RT，由題意知：△RST在月牙形公園里，RT與圓Q只能相切或相離，RT左邊的部分是一個(gè)大小不超過半圓的弓形，建立不等關(guān)系：RT≤4，SH≤2，當(dāng)且僅當(dāng)RT切圓Q于P時(shí)（如下左圖），上面兩個(gè)不等式中等號(hào)同時(shí)成立．從而得出場(chǎng)地面積的最大值即可；
（2）同（1）的分析，要使得場(chǎng)地面積最大，AD左邊的部分是一個(gè)大小不超過半圓的弓形，AD必須切圓Q于P，再設(shè)∠BPA=θ，寫出等腰梯形ABCD面積的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)求得其極大值也是最大值即可．

解答：解：（1）如下右圖，
過S作SH⊥RT于H，
S_△RST=

1

2

SH•RT．（2分）
由題意，△RST在月牙形公園里，
RT與圓Q只能相切或相離；（4分）
RT左邊的部分是一個(gè)大小不超過半圓的弓形，
則有RT≤4，SH≤2，
當(dāng)且僅當(dāng)RT切圓Q于P時(shí)（如下左圖），上面兩個(gè)不等式中等號(hào)同時(shí)成立．
此時(shí)，場(chǎng)地面積的最大值為S_△RST=

1

2

×4×2=4（km²）．（6分）
甲圖乙圖
（2）同（1）的分析，要使得場(chǎng)地面積最大，AD左邊的部分是一個(gè)大小不超過半圓的弓形，
AD必須切圓Q于P，再設(shè)∠BPA=θ，則
S_ABCD=

1

2

（AD+BC）×2sinθ=

1

2

（4+2×2cosθ）×2sinθ．
=4（sinθ+sinθcosθ）…（8分）
令y=sinθ+sinθcosθ，則
y'=cosθ+cosθcosθ+sinθ（-sinθ）=2cos²θ+cosθ-1．（11分）
若y'=0，cosθ=

1

2

，θ=

π

3

，
又θ∈(0，  

π

3

)時(shí)，y'＞0，θ∈(

π

3

，  

π

2

)時(shí)，y'＜0，（14分）
函數(shù)y=sinθ+sinθcosθ在θ=

π

3

處取到極大值也是最大值，
故θ=

π

3

時(shí)，場(chǎng)地面積取得最大值為3

3

（km²）．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型．解題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)模型，建立函數(shù)關(guān)系式，最后利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求最值．