【題目】已知函數(shù)f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,g(x)= (a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù))
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在 上無零點(diǎn),求a的最小值;
(Ⅲ)若對任意給定的x0∈(0,e],在(0,e]上總存在兩個(gè)不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,求a的取值范圍.
【答案】(1) f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,2],單調(diào)增區(qū)間為[2,+∞);(2) 函數(shù)f(x)在 上無零點(diǎn),則a的最小值為2﹣4ln2;(3)a的范圍是.
【解析】試題分析:(Ⅰ)把a(bǔ)=1代入到f(x)中求出f′(x),令f′(x)>0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間,令f′(x)<0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間;
(Ⅱ)f(x)<0時(shí)不可能恒成立,所以要使函數(shù)在(0, )上無零點(diǎn),只需要對x∈(0, )時(shí)f(x)>0恒成立,列出不等式解出a大于一個(gè)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的增減性得到這個(gè)函數(shù)的最大值即可得到a的最小值;
(Ⅲ)求出g′(x),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可求出g(x)的值域,而當(dāng)a=2時(shí)不合題意;當(dāng)a≠2時(shí),求出f′(x)=0時(shí)x的值,根據(jù)x∈(0,e]列出關(guān)于a的不等式得到①,并根據(jù)此時(shí)的x的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到②和③,令②中不等式的坐標(biāo)為一個(gè)函數(shù),求出此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性得到此函數(shù)的最大值,即可解出②恒成立和解出③得到④,聯(lián)立①和④即可解出滿足題意a的取值范圍.
試題解析:
(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x﹣1﹣2lnx,則f′(x)=1﹣,
由f′(x)>0,得x>2;
由f′(x)<0,得0<x<2.
故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,2],單調(diào)增區(qū)間為[2,+∞);
(2)因?yàn)閒(x)<0在區(qū)間上恒成立不可能,
故要使函數(shù)上無零點(diǎn),
只要對任意的,f(x)>0恒成立,即對恒成立.
令,則,
再令,
則,故m(x)在上為減函數(shù),于是,
從而,l(x)>0,于是l(x)在上為增函數(shù),所以,
故要使恒成立,只要a∈[2﹣4ln2,+∞),
綜上,若函數(shù)f(x)在 上無零點(diǎn),則a的最小值為2﹣4ln2;
(3)g′(x)=e1﹣x﹣xe1﹣x=(1﹣x)e1﹣x,
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,e]時(shí),g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.
又因?yàn)間(0)=0,g(1)=1,g(e)=ee1﹣e>0,
所以,函數(shù)g(x)在(0,e]上的值域?yàn)椋?,1].
當(dāng)a=2時(shí),不合題意;
當(dāng)a≠2時(shí),f′(x)=,x∈(0,e]
當(dāng)x=時(shí),f′(x)=0.
由題意得,f(x)在(0,e]上不單調(diào),故,即①
此時(shí),當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下:
x | (0,) | (,e] | |
f′(x) | ﹣ | 0 | + |
f(x) | ↘ | 最小值 | ↗ |
又因?yàn),?dāng)x→0時(shí),2﹣a>0,f(x)→+∞,
,
所以,對任意給定的x0∈(0,e],在(0,e]上總存在兩個(gè)不同的xi(i=1,2),
使得f(xi)=g(x0)成立,當(dāng)且僅當(dāng)a滿足下列條件:
即
令h(a)=,
則h,令h′(a)=0,得a=0或a=2,
故當(dāng)a∈(﹣∞,0)時(shí),h′(a)>0,函數(shù)h(a)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),h′(a)<0,函數(shù)h(a)單調(diào)遞減.
所以,對任意,有h(a)≤h(0)=0,
即②對任意恒成立.
由③式解得:.④
綜合①④可知,當(dāng)a的范圍是 時(shí),對任意給定的x0∈(0,e],在(0,e]上總存在兩個(gè)不同的xi(i=1,2),使f(xi)=g(x0)成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù), ().
(Ⅰ)若,設(shè),試證明存在唯一零點(diǎn),并求的最大值;
(Ⅱ)若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個(gè)整數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】根據(jù)下列條件,分別求直線方程:
(1)經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)且與直線2x+y﹣5=0垂直;
(2)求經(jīng)過直線x﹣y﹣1=0與2x+y﹣2=0的交點(diǎn),且平行于直線x+2y﹣3=0的直線方程.
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【題目】已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的前5項(xiàng)積為243,且2a3為3a2和a4的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=bn﹣1log3an+2(n≥2且n∈N*),且b1=1,求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+lnx(a∈R).
(1)當(dāng)a=時(shí),求f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值和最小值;
(2)如果函數(shù)g(x),f1(x),f2(x),在公共定義域D上,滿足f1(x)<g(x)<f2(x),那么就稱g(x)為f1(x),f2(x)的“活動函數(shù)”.已知函數(shù). 。若在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)是f1(x),f2(x)的“活動函數(shù)”,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,c= asinC﹣ccosA.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面積為 ,求b,c.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校高三年級有學(xué)生500人,其中男生300人,女生200人,為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學(xué)生,先統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù),然后按性別分為男、女兩組,再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成5組:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
附:K2= .
(1)從樣本中分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求兩人恰好為一男一女的概率;
(2)若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”,請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”?
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】已知A,B,C是橢圓C: (a>b>0)上的三點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),BC過橢圓的中心,且·=0,||=2||
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)(0,t)的直線l(斜率存在)與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),設(shè)D為橢圓C與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn),且||=||,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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