Question

（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，已知圓過坐標原點O且圓心在曲線上.

（Ⅰ）若圓M分別與軸、軸交于點、（不同于原點O），求證：的面積為定值；

（Ⅱ）設直線與圓M 交于不同的兩點C，D，且，求圓M的方程；

（Ⅲ）設直線與（Ⅱ）中所求圓M交于點、， 為直線上的動點，直線，與圓M的另一個交點分別為，，求證：直線過定點.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意可設圓M的方程為，求出圓M分別與x軸、y軸交于點A、B的坐標，利用面積公式，可得：△AOB的面積為定值；

（Ⅱ）由|OC|=|OD|，知OM⊥l，解得t=±1，再驗證，即可求圓M的方程；

（Ⅲ）設，整理得．①設直線GH的方程為，代入，利用韋達定理，確定直線方程，即可得出結論．

試題解析：（Ⅰ）由題意可設圓M的方程為，

即.

令，得；令，得.

（定值）.

（Ⅱ）由，知.

所以，解得.

當時，圓心M到直線的距離小于半徑，符合題意；

當時，圓心M到直線的距離大于半徑，不符合題意.

所以，所求圓M的方程為.

（Ⅲ）設，，，又知，，

所以，

.

因為，所以.

將，代入上式，

整理得. ①

設直線的方程為，代入，

整理得.

所以，.

代入①式，并整理得，

即，

解得或.

當時，直線的方程為，過定點；

當時，直線的方程為，過定點

考點：圓的方程；直線與圓的位置關系；分析思考能力和計算能力.