已知函數
(I)求函數的極值;
(II)對于函數和
定義域內的任意實數
,若存在常數
,使得不等式
和
都成立,則稱直線
是函數
和
的“分界線”.
設函數,
,試問函數
和
是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程.若不存在請說明理由.
(I),
無極大值;(II)函數
和
存在“分界線”,方程為
.
解析試題分析:(I)首先求函數的定義域,解方程
得
可能的極值點,進一步得
的單調性,最后根據導函數在零點附近的變號情況求
的極值;(II)函數
和
的圖象在
處有公共點
.設函數
和
存在“分界線”,方程為
,由
對任意
恒成立,確定常數
,從而得“分界線”的方程為
,再證明
在
時也恒成立,最后確定函數
和
的“分界線”就是直線
.
試題解析:(I).
令得
,
所以在
上單調遞減,
上單調遞增,
又,
所以,
無極大值.
(II)由(I)知,
所以函數和
的圖象在
處有公共點
.
設函數和
存在“分界線”,方程為
,
應有對任意
恒成立,即
在
時恒成立,
于是,得
,
則“分界線”的方程為.
記,則
令得
,所以
在
上單調遞增,
上單調遞減,
當時,函數
取得最大值
,即
在
時恒成立.
綜上所述,函數和
存在“分界線”,方程為
……
考點:1、應用導數求函數極值(最值);2、應用導數研究函數的性質.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
工廠生產某種產品,次品率與日產量
(萬件)間的關系
(
為常數,且
),已知每生產一件合格產品盈利
元,每出現一件次品虧損
元.
(1)將日盈利額(萬元)表示為日產量
(萬件)的函數;
(2)為使日盈利額最大,日產量應為多少萬件?(注: )
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知一家公司生產某種產品的年固定成本為10萬元,每生產1千件該產品需另投入2.7萬元,設該公司一年內生產該產品千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為
萬元,且
(Ⅰ)寫出年利潤(萬元)關于年產量
(千件)的函數解析式;
(Ⅱ)年產量為多少千件時,該公司在這一產品的產銷過程中所獲利潤最大
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度(單位:千米/小時)是車流密度
(單位:輛/千米)的函數.當橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0千米/小時;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時.研究表明:當
時,車流速度
是車流密度
的一次函數.
(Ⅰ)當時,求函數
的表達式;
(Ⅱ)當車流密度為多大時,車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數,單位:輛/小時)
可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時)
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數的定義域為
,若
在
上為增函數,則稱
為“一階比增函數”;若
在
上為增函數,則稱
為“二階比增函數”.我們把所有“一階比增函數”組成的集合記為
,所有“二階比增函數”組成的集合記為
.
(Ⅰ)已知函數,若
且
,求實數
的取值范圍;
(Ⅱ)已知,
且
的部分函數值由下表給出,
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
某商場在店慶一周年開展“購物折上折活動”:商場內所有商品按標價的八折出售,折后價格每滿500元再減100元.如某商品標價為1500元,則購買該商品的實際付款額為1500×0.8-200=1000(元).設購買某商品得到的實際折扣率.設某商品標價為
元,購買該商品得到的實際折扣率為
.
(Ⅰ)寫出當時,
關于
的函數解析式,并求出購買標價為1000元商品得到的實際折扣率;
(Ⅱ)對于標價在[2500,3500]的商品,顧客購買標價為多少元的商品,可得到的實際折扣率低于?
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
某單位設計的兩種密封玻璃窗如圖所示:圖1是單層玻璃,厚度為8 mm;圖2是雙層中空玻璃,厚度均為4 mm,中間留有厚度為的空氣隔層.根據熱傳導知識,對于厚度為
的均勻介質,兩側的溫度差為
,單位時間內,在單位面積上通過的熱量
,其中
為熱傳導系數.假定單位時間內,在單位面積上通過每一層玻璃及空氣隔層的熱量相等.(注:玻璃的熱傳導系數為
,空氣的熱傳導系數為
.)
(1)設室內,室外溫度均分別為,
,內層玻璃外側溫度為
,外層玻璃內側溫度為
,且
.試分別求出單層玻璃和雙層中空玻璃單位時間內,在單位面積上通過的熱量(結果用
,
及
表示);
(2)為使雙層中空玻璃單位時間內,在單位面積上通過的熱量只有單層玻璃的4%,應如何設計的大��?
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(1)已知函數y=ln(-x2+x-a)的定義域為(-2,3),求實數a的取值范圍;
(2)已知函數y=ln(-x2+x-a)在(-2,3)上有意義,求實數a的取值范圍.
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