Question

已知f（x）是三次項(xiàng)系數(shù)為

a

3

的三次函數(shù)，且不等式f′（x）-9x＞0的解集為（1，2）
（1）若方程f′（x）+7a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求a的值
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+ax在[1，3]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d，由f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x＞0的解集為（1，2），得f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x=a（x-1）（x-2），從而得f′（x）=a（x-1）（x-2）+9x=ax²+（9-3a）x+2a，進(jìn)而得f'（x）+7a=0，由方程有兩相等實(shí)根得△=0，可求a值；
（2）g（x）=f（x）+ax在[1，3]上單調(diào)遞增，等價(jià)于g'（x）≥0在[1，3]上恒成立，即f′（x）+a=ax²+（9-3a）x+3a≥0在[1，3]上恒成立，分離參數(shù)a后化為求函數(shù)的最值即可，利用基本不等式可求最值；

解答： 解：設(shè)f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d，∴f'（x）=ax²+2bx+c，
∵f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x＞0的解集為（1，2），
∴f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x=a（x-1）（x-2），即f′（x）=a（x-1）（x-2）+9x=ax²+（9-3a）x+2a，
（1）∵f'（x）+7a=ax²+（9-3a）x+9a=0有兩相等實(shí)數(shù)根，
∴△=（9-3a）²-36a²=0，解得a=-3或a=1．
（2）∵g（x）=f（x）+ax在[1，3]上單調(diào)遞增，
∴g'（x）≥0在[1，3]上恒成立，即f′（x）+a=ax²+（9-3a）x+3a≥0在[1，3]上恒成立，
∴a≥

-9x

x2-3x+3

在[1，3]上恒成立，

-9x

x2-3x+3

=

-9

x+ 3 x -3

，且x∈[1，3]時(shí)，2

3

≤x+

3

x

≤4，
∴

-9

x+ 3 x -3

≤

-9

4-3

=-9，
∴a≥-9．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程的根等知識(shí)，考查函數(shù)與方程思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．