Question

（2013•鎮(zhèn)江一模）已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax³-bx（x∈R）圖象上相異兩點A，B處的切線分別為l₁，l₂，且l₁∥l₂．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；并判斷A，B是否關于原點對稱；
（2）若直線l₁，l₂都與AB垂直，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由函數(shù)的解析式求出函數(shù)的定義域，要判斷出其定義關于原點對稱，進而由函數(shù)的解析式，判斷出f（-x）=-f（x），最后由函數(shù)奇偶性的定義，得到結論；再設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且x₁≠x₂，利用導數(shù)的幾何意義得出x₁=-x₂從而得到A，B關于原點對稱．
（2）由（1）知A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），利用斜率公式及導數(shù)的幾何意義結合直線l₁，l₂都與AB垂直，得到方程3t²-4bt+b²+1=0有非負實根，利用根的判別式即可求出實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（-x）=a（-x）³-b（-x）=-（ax³-bx）=-f（x），…（2分）
∴f（x）為奇函數(shù)．…（3分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且x₁≠x₂，又f'（x）=3ax²-b，…（5分）
∵f（x）在兩個相異點A，B處的切線分別為l₁，l₂，且l₁∥l₂，
∴k1=f′(x1)=3ax12-b=k2=f′(x2)=3ax22-b(a＞0)，
∴x12=x22，又x₁≠x₂，∴x₁=-x₂，…（6分）　　
又∵f（x）為奇函數(shù)，
∴點A，B關于原點對稱．…（7分）
（2）由（1）知A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），
∴kAB=

y1

x1

=ax12-b，…（8分）
又f（x）在A處的切線的斜率k=f′(x1)=3ax12-b，
∵直線l₁，l₂都與AB垂直，
∴kAB•k=-1，(ax12-b)•(3ax12-b)=-1，…（9分）
令t=ax12≥0，即方程3t²-4bt+b²+1=0有非負實根，…（10分）
∴△≥0?b²≥3，又t1t2=

b2+1

3

＞0，
∴

4b

3

＞0?b＞0．
綜上b≥

3

．…（14分）

點評：本題考查函數(shù)性質和導數(shù)的運算與應用、一元二次方程根的分布；考查換元法考查推理論證能力．