Question

某發(fā)射裝置上有一個(gè)特殊的按鍵，在發(fā)射裝置的屏幕上顯示正整數(shù)n時(shí)按下這個(gè)鍵，會(huì)等可能的將其替換為0～n-1中的任意一個(gè)數(shù)，反復(fù)按這個(gè)鍵使得最終顯示0，我們把這一操作稱為“還原”操作．
（Ⅰ）設(shè)初始值為15，求在“還原”操作中出現(xiàn)9的概率；
（Ⅱ）當(dāng)初始值為4時(shí)，進(jìn)行“還原”操作，記操作次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意知對(duì)于數(shù)字n，對(duì)于任意一個(gè)不小于n+1的數(shù)，直接選擇n的概率為

1

n+1

，直接選擇n-1的概率為

1

n+1

，…，直接選擇0的概率為

1

n+1

，而最后都選擇了0，即概率和為1，所以數(shù)字n的出現(xiàn)概率即

1

n+1

．由此能求出在“還原”操作中出現(xiàn)9的概率．
（Ⅱ）由題意知ξ=1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知：0出現(xiàn)的概率是1；
1出現(xiàn)的概率是

1

2

，因?yàn)閷?duì)于任意不小于2的數(shù)，
直接選擇1和選擇0的概率是相同的，而選擇了1就必然選擇0，
所以選1再選零和直接選0概率相同；
對(duì)于數(shù)字n，對(duì)于任意一個(gè)不小于n+1的數(shù)，直接選擇n的概率為

1

n+1

，
直接選擇n-1的概率為

1

n+1

，…，直接選擇0的概率為

1

n+1

，
而最后都選擇了0，即概率和為1，所以數(shù)字n的出現(xiàn)概率即

1

n+1

．
∴在“還原”操作中出現(xiàn)9的概率p=

1

10

．
（Ⅱ）由題意知ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）=

1

4

，P（ξ=2）=

3

4

×

1

3

=

1

4

，P（ξ=3）=

3

4

×

2

3

×

1

2

=

1

4

，
P（ξ=4）=

3

4

×

2

3

×

1

2

×1=

1

4

，
∴ξ的概率分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	1 4	1 4	1 4	1 4

Eξ=（1+2+3+4）×

1

4

=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．