Question

設(shè)sinβ=sinαcos（α+β），α，β∈（0，

π

2

），α+β≠

π

2

，當(dāng)tanβ取得最大值時(shí)tan（α+β）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：首先對(duì)三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，整理成tanβ=

sinαcosα

1+sin2α

，進(jìn)一步利用恒等變換變形成tanβ=

1

2tanα+ 1 tanα

再利用基本不等式求解，最后求得結(jié)果．

解答： 解；sinβ=sinαcos（α+β），
則：sinβ=sinα（cosαcosβ-sinαsinβ）=sinαcosαcosβ-sinαsinαsinβ
等式兩邊都除以cosβ得到：tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ
整理得：tanβ=

sinαcosα

1+sin2α

所以：tanβ=

sinαcosα

1+sin2α

=

tanα

2tan2α+1

=

1

2tanα+ 1 tanα

由于：α，β∈（0，

π

2

），α+β≠

π

2

，
所以：2tanα+

1

tanα

≥2

2

所以：tanβ=

1

2tanα+ 1 tanα

≤

2

4

即當(dāng)tanα=

2

2

時(shí)，tanβ的最大值為

2

4

tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanβtanα

=

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角寒素關(guān)系式的恒等變換，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．