Question

某醫(yī)院為了提高服務(wù)質(zhì)量，進(jìn)行了下面的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)還未開始掛號(hào)時(shí)，有N個(gè)人已經(jīng)在排隊(duì)等候掛號(hào)．開始掛號(hào)后排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增加M人．假定掛號(hào)的速度是每窗口每分鐘K個(gè)人，當(dāng)開放一個(gè)窗口時(shí)，40分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象；若同時(shí)開放兩個(gè)窗口時(shí)，則15分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象．根據(jù)以上信息，請(qǐng)你解決以下問題：
（Ⅰ）若要求8分鐘后不出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，則至少需要同時(shí)開放幾個(gè)窗口？
（Ⅱ）若醫(yī)院做出承諾，開始掛號(hào)后每人等待的時(shí)間不超過25分鐘，問：若N=60，當(dāng)只開放一個(gè)窗口時(shí)，能否實(shí)現(xiàn)做出的承諾？

Answer 1

分析：（I）由已知中當(dāng)還未開始掛號(hào)時(shí)，有N個(gè)人已經(jīng)在排隊(duì)等候掛號(hào)．開始掛號(hào)后排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增加M人．掛號(hào)的速度是每窗口每分鐘K個(gè)人，當(dāng)開放一個(gè)窗口時(shí)，40分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象；若同時(shí)開放兩個(gè)窗口時(shí)，則15分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象．我們可以構(gòu)造關(guān)于M，N的方程組，求出M，N，K的關(guān)系，進(jìn)而由8分鐘后不出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x的方程組，解方程組即可得到答案．
（II）由（I）的結(jié)論可得當(dāng)N=60時(shí)，K=2.5，M=1，我們構(gòu)造第n個(gè)人的等待時(shí)間的函數(shù)f（n），求出其解析式后，分析其最值，比照后，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)要同時(shí)開放x個(gè)窗口才能滿足要求，
則 

N+40M=40K(1) N+15M=15K×2(2) N+8M≤8Kx(3)

由（1）、（2）得

K=2.5M N=60M

代入（3）得60M+8M≤8×2.5Mx，解得x≥3.4．
故至少同時(shí)開放4 個(gè)窗口才能滿足要求．
（Ⅱ）N=60時(shí)，K=2.5，M=1，設(shè)第n個(gè)人的等待時(shí)間為f（n）．
當(dāng)n≤60時(shí)，第n個(gè)人的等待時(shí)間為他前面的n-1個(gè)人掛號(hào)完用去的時(shí)間；
當(dāng)n＞60時(shí)，第n個(gè)人的等待時(shí)間為他前面的n-1個(gè)人掛號(hào)．
用去的時(shí)間減去他在開始掛號(hào)后到來掛號(hào)用去的時(shí)間，即
f（n）=

n-1 2.5 (n≤60) n-1 2.5 -(n-60)(n＞60)

當(dāng)n≤60時(shí)，則當(dāng)n=60時(shí)，f（n）取最大值為23.6分鐘．
當(dāng)n＞60時(shí)，則當(dāng)n=61時(shí)，f（n）取最大值為23分鐘．
故等待時(shí)間最長為23.6分鐘，說明能夠?qū)崿F(xiàn)承諾．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，在利用函數(shù)模型，解答應(yīng)用題時(shí)，解答的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出函數(shù)的解析式，易忽略點(diǎn)是實(shí)際問題對(duì)自變量取值范圍（定義域）的影響．