Question

13．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-3≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$若目標函數(shù)z=2x+y的最小值為a，最大值為b，則函數(shù)y=x-$\frac{4}{x}$在[a，b]上的值域為（　�。�

• A． （-∞，3）
• B． [3，$\frac{21}{5}$]．
• C． [-3，3]
• D． [5，+∞）

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)求得a，b的值，再由函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)y=x-$\frac{4}{x}$在[a，b]上的值域．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-3≤0}\\{y≥1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得A（-1，1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得B（2，1），
化目標函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z，
由圖可知，當直線y=-2x+z過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為-1，
當直線y=-2x+z過B時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為5．
即a=-1，b=5，
函數(shù)y=x-$\frac{4}{x}$在[-1，5]上為增函數(shù)，最小值為3，最大值為$\frac{21}{5}$．
∴函數(shù)y=x-$\frac{4}{x}$在[-1，5]上的值域為[3，$\frac{21}{5}$]．
故選：B．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓練了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．